Question

三位同學合作學習，對問題“已知不等式xy≤ax²+2y²對于x∈[1，2]，y∈[2，3]恒成立，求a的取值范圍”提出了各自的解題思路．
甲說：“可視x為變量，y為常量來分析”．
乙說：“不等式兩邊同除以x²，再作分析”．
丙說：“把字母a單獨放在一邊，再作分析”．
參考上述思路，或自已的其它解法，可求出實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用丙的方法，將字母a分離出來，然后將

y

x

看成整體，轉化成關于

y

x

的二次函數，求出

y

x

的范圍，只需研究二次函數在閉區間上的最大值即可．

解答：解：采用丙的方法：
a≥

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
又 a≥

y

x

-2•

y2

x2

=-2(

y

x

-

1

4

)2+

1

8

，
而

y

x

∈[1，3]，[-2(

y

x

-

1

4

) 2+

1

8

]max=-1，
故答案為：[-1，+∞）．

點評：本題主要考查了函數恒成立的問題，以及參數分離法的運用和轉化的數學思想，屬于基礎題．