Question

半徑為r的圓的面積S（r）=πr²，周長C（r）=2πr，若將r看作（0，+∞）上的變量，則（πr²）′=2πr  ①，①式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數．對于半徑為R的球，若將R看作（0，+∞）上的變量，請你寫出類似于①的式子：

 

．

Answer 1

分析：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數，類比得到球的體積函數的導數等于球的表面積函數，有二維空間推廣到三維空間．

解答：解：V_球=

4

3

πR3，又 (

4

3

πR3)′=4πR2
用語言敘述為“球的體積函數的導數等于球的表面積函數．”
類似于①的式子可填 (

4

3

πR3)′=4πR2，
故答案為 (

4

3

πR3)′=4πR2，

點評：本題考查類比推理，解答本題的關鍵是：（1）找出兩類事物：圓與球之間的相似性或一致性；（2）用圓的性質去推測球的性質，得出一個明確的命題（猜想）．