Question

如圖所示為某風景區設計建造的一個休閑廣場，廣場的中間造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構成對稱的十字形區域，十字形區域面積為2000m²，計劃在正方方形MNPQ上建一座“觀景花壇”，造價為每平方4100元，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪石材地坪，價格為每平方110元，再在四個空角（如△DQH等）上鋪草坪，價格為每平方80元．設AD長為xm，DQ長為ym．
（I）試找出x與y滿足的等量關系式；
（Ⅱ）若該廣場的占地面積不超過2800m²，求x的取值范圍；
（Ⅲ）求該廣場的總造價的最小值及此時AD的長．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，十字形區域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，
得出x與y滿足的等量關系式為：4xy+x²=2000
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得y=，
由y＞0，得0＜x＜20
廣場的占地面積S=2000+2y²≤2800
則y≤20，即y=≤20
得x≥20，
綜上20≤x＜20
（Ⅲ） 設廣場的總造價為P
則P=4100x²+110•4xy+80•2y²
=4100x²+110•（2000-x²）+160（ ）²
=4000x²++180000
≥980000
取等號的條件是x=10．
分析：（Ⅰ）由已知，十字形區域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，得出4xy+x²=2000
（Ⅱ） x的取值范圍應有（Ⅰ）中的制約關系，和占地面積不超過2800m^{2_共同確定}．
（Ⅲ） 設廣場的總造價為P則P=4100x²+110•4xy+80•2y²，化簡整理得出4000x²++180000，再利用基本不等式 求解即可．
點評：本題考查基本不等式的實際應用，函數的性質．建立正確的函數關系式是前提，準確應用不等式求解是保障．在求定義域是一方面要有x＞0，另一方面還要根據x與y滿足的等量關系式求解．