Question

已知圓C：（x+1）²+y²=8．
（1）求過點(diǎn)Q（3，0）的圓C的切線l的方程；
（2）如圖，定點(diǎn)A（1，0），M為圓C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，求點(diǎn)N的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）由題意知所求的切線斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-3），由圓心到切線的距離等于半徑可得

|-k-3k|

k2+1

=

8

，
解出k值，即得所求的切線方程．
（2）由題意得，NP為AM的垂直平分線，由|CN|+|AN|=2

2

＞2，可知?jiǎng)狱c(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓，且橢圓長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2，求出b，待定系數(shù)法求點(diǎn)N的軌跡（橢圓）的方程．

解答：解：（1）由題意知所求的切線斜率存在，設(shè)其方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0；
由圓心到切線的距離等于半徑可得

|-k-3k|

k2+1

=

8

，8k²+8=16k²，解得k=±1，
從而所求的切線方程為x-y-3=0，和x+y-3=0．
（2）∵

AM

=2

AP

，

NP

•

AM

=0，∴NP為AM的垂直平分線，∴|NA|=|NM|．
又∵|CN|+|NM|=2

2

，∴|CN|+|AN|=2

2

＞2．
∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)C（-1，0），A（1，0）為焦點(diǎn)的橢圓．
且橢圓長軸長為2a=2

2

，焦距2c=2．∴a=

2

，c=1，b2=1．
∴點(diǎn)N的軌跡是方程為

x2

2

+y2=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．