Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，右準線為l．如果以F為圓心，實軸長為半徑的圓與l相交，那么雙曲線的離心率e的取值范圍是

（1，1+

2

）

．

Answer 1

分析：根據題意，雙曲線的焦點F到準線的距離小于實軸長，由此建立關于a、b、c的不等關系，結合雙曲線中c²=a²+b²和離心率的公式，化簡整理即可求出此雙曲線的離心率范圍．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點為F（c，0），右準線為l：x=

a2

c

∴F到l的距離為d=c-

a2

c

=

b2

c

∵以F為圓心，實軸長為半徑的圓與l相交，
∴F到準線的距離d小于實軸長2a，即

b2

c

＜2a
化簡得b²=c²-a²＜2ac，
兩邊都除以a²，化簡得e²-2e-1＜0，解之得1-

2

＜e＜1+

2

∵雙曲線的離心率e∈（1，+∞）
∴此雙曲線的離心率e∈（1，1+

2

）
故答案為：（1，1+

2

）

點評：本題給出雙曲線滿足的條件，求雙曲線的離心率的范圍．著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．