Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的焦距為4，且過點．

（1）求橢圓的方程

（2）設橢圓的上頂點為，右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，問是否存在直線，使得為的垂心，若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在直線滿足題設條件,詳見解析

【解析】

（1）由已知列出關于，，的方程組，解得，，，寫出結果即可；

（2）由已知可得，，．所以，因為，所以可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，得．設，，，，由根與系數的關系寫出兩根之和和兩根之積的表達式，再由垂心的性質列出方程求解即可．

（1）由已知可得，

解得，，，所以橢圓的方程為．

（2）由已知可得，，∴.∵，

∴可設直線的方程為，代入橢圓方程整理，

得.設，

則，∵.

即

∵

即，∵

∴或.

由，得

又時，直線過點，不合要求，∴，

故存在直線滿足題設條件.