Question

設函數f（x）在區間（-a，a）（a＞0）內為奇函數且可導，證明：f′（x）是（-a，a）內的偶函數．

Answer 1

分析：證明f′（x）是（-a，a）內的偶函數即證f′（-x）=f′（x），而函數f（x）沒有解析式，故想到運用導數的定義進行證明．

解答：證明：對任意x∈(-a，a)，f′(-x)=

lim

△x→0

f(-x+△x)-f(-x)

△x

=

lim

△x→0

f[-(x-△x)]-f(-x)

△x

由于f（x）為奇函數，∴f[-（x-△x）]=-f（x-△x），f（-x）=-f（x），
于是f′(-x)=

lim

△x→0

-f(x-△x)+f(x)

△x

=

lim

△x→0

f(x-△x)-f(x)

-△x

=f′(x)，
因此f′（-x）=f′（x）即f′（x）是（-a，a）內的偶函數．

點評：本題考查導數的定義以及函數奇偶性的判斷．