Question

如圖所示的數表，對任意正整數i（i=1，2，3，…）滿足以下兩個條件：
①第一行只有一個數1；
②第i行共有i個數，這行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，這些數構成一個公差為2的等差數列，
則：（1）第7行第一個數為

16

；（2）第n行所有數的和為

n3-n2+2n

2

．

Answer 1

分析：根據第i行共有i個數，這行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，這些數構成一個公差為2的等差數列，可得第n行所有數的和an=n×

an-1

n-1

+2+4+…+2(n-1)，由此可求第n行所有數的和．

解答：解：設a_n為第n行所有數的和，
根據第i行從左至右第一個數等于前一行所有數的平均數，可得第n行的第一個數等于

an-1

n-1

，
再利用第i行的數構成一個公差為2的等差數列，可得an=n×

an-1

n-1

+2+4+…+2(n-1)=n×

an-1

n-1

+n(n-1)
∴

an

n

-

n(n-1)

2

=

an-1

n-1

-

(n-1)(n-2)

2

∴

an

n

-

n(n-1)

2

=

an-1

n-1

-

(n-1)(n-2)

2

=…=

a1

1

=1
∴an=

n3-n2+2n

2

∴第7行第一個數為

a6

6

=

96

6

=16
故答案為：16，

n3-n2+2n

2

點評：本題考查數列的應用，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．