Question

如圖，在三棱錐中，，，，設頂點A在底面上的射影為R．
（Ⅰ）求證: ；
（Ⅱ）設點在棱上，且，試求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

試題分析：（Ⅰ）借助幾何體的中線面垂直，證明BCDE為正方形，達到證明線線垂直的目的；（Ⅱ）方法一利用定義法做出二面角，通過解三角形求解二面角的平面角；方法二建立利用空間向量法，通過兩個半平面的法向量借助夾角公式求解.
試題解析：證明：方法一：由平面，得，
又，則平面，
故，                3分
同理可得，則為矩形，
又，則為正方形，故．        5分

方法二：由已知可得，設為的中點，則，則平面，故平面平面，則頂點在底面上的射影必在，故．
（Ⅱ）方法一:由（I）的證明過程知平面，過作，垂足為，則易證得，故即為二面角的平面角，           8分
由已知可得，則，故，則，
又，則，              10分
故，即二面角的余弦值為 12分
方法二: 由（I）的證明過程知為正方形，如圖建立坐標系，

則，，，可得，       8分
則，，易知平面
的一個法向量為，設平面的一個法向量為，則由得         10分
則，即二面角的余弦值為．    12分