Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且對于任意x₁，x₂∈R，存在正實數L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立．
（1）若f(x)=

1+x2

，求L的取值范圍；
（2）當0＜L＜1時，數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…．
①證明：

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|；
②令Ak=

a1+a2+…ak

k

(k=1，2，3，…)，證明：

n

k=1

|Ak-Ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．

Answer 1

分析：（1）由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，可得

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

≤L|x₁-x₂|，從而當x₁≠x₂時，得L≥

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

，進而有L≥1，當x₁=x₂時，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立，故問題得解；
（2）①由于a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，所以當n≥2時，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|，從而

n

k=1

|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．所以問題可證
②由A_k=

a1+a2+…ak

k

，表達出|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|，再利用①的結論可解．

解答：解：（1）證明：對任意x₁，x₂∈R，有
|f(x1)-f(x2)|=|

1+ x 2 1

-

1+ x 2 2

|=|

x 2 1 - x 2 2

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

|=

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

．…2分
由|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|，即

|x1-x2|•|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

≤L|x₁-x₂|．
當x₁≠x₂時，得L≥

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

．
∵

1+ x 2 1

＞|x1|，

1+ x 2 2

＞|x2|，且|x₁|+|x₂|≥|x₁+x₂|，
∴

|x1+x2|

1+ x 2 1 + 1+ x 2 2

＜

|x1+x2|

|x1|+|x2|

≤1．…4分
∴要使|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|對任意x₁，x₂∈R都成立，只要L≥1．
當x₁=x₂時，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|恒成立．
∴L的取值范圍是[1，+∞）．…5分
（2）證明：①∵a_n+1=f（a_n），n=1，2，…，
故當n≥2時，|a_n-a_n+1|=|f（a_n-1）-f（a_n）|≤L|a_n-1-a_n|=L|f（a_n-2）-f（a_n-1）|≤L²|a_n-2-a_n-1|≤…≤L^n-1|a₁-a₂|
∴

n

k=1

|ak-ak+1|=|a1-a2|+|a2-a3|+|a3-a4|+…+|an-an+1|≤（1+L+L²+…+L^n-1）|a₁-a₂|…7分
=

1-Ln

1-L

|a1-a2|．
∵0＜L＜1，∴

n

k=1

|ak-ak+1|≤

1

1-L

|a1-a2|（當n=1時，不等式也成立）．…9分
②∵A_k=

a1+a2+…ak

k

，
∴|Ak-Ak+1|=|

a1+a2+…+ak

k

-

a1+a2+…+ak+1

k+1

|
=|

1

k(k+1)

(a1+a2+…+ak-kak+1)|
=

1

k(k+1)

|(a1-a2)+2(a2-a3)+3(a3-a4)+…+k(ak-ak+1)|
≤

1

k(k+1)

(|a1-a2|+2|a2-a3|+3|a3-a4|+…+k|ak-ak+1|)． …11分
∴

n

k=1

|Ak-Ak+1|=|A1-A2|+|A2-A3|+…+|An-An+1|
≤|a1-a2|(

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

)+2|a2-a3|(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)
+3|a3-a4|(

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n(n+1)

)+…+n|an-an+1|×

1

n(n+1)

=|a1-a2|(1-

1

n+1

)+|a2-a3|(1-

2

n+1

)+…+|an-an+1|(1-

n

n+1

)
≤|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_n-a_n+1|≤

1

1-L

|a1-a2|．…14分

點評：本小題主要考查函數、數列求和、絕對值不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識