Question

．．（本小題滿分14分）定義在上的函數(shù)，如果滿足；對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（Ⅱ）若是上的有界函數(shù)，且的上界為3，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，求函數(shù)在上的上界的取值范圍.

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，.
∵在上遞增，所以，
即在上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201904605546.png" style="vertical-align:middle;" />.    …………………………… 2分
故不存在常數(shù)，使成立.
所以函數(shù)在上不是有界函數(shù).………………………… 4分
（Ⅱ）∵函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，
在上恒成立. ,
在上恒成立.
…………………………………… 6分
設(shè)，，.
由,得.設(shè)，則
，，
所以在 上遞增，在上遞減.
在上的最大值為，在上的最小值為.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為. ……………………………………… 9分
（Ⅲ）解法一:，.
∵，,.
∴，
∵
∴. …………………………………………… 11分
①當(dāng)即時(shí)，　，此時(shí)；
②當(dāng)即時(shí)，，此時(shí).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是；
當(dāng)時(shí)，的取值范圍是………… 14分
解法二：.令，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201906414497.png" style="vertical-align:middle;" />，所以.
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823201906477470.png" style="vertical-align:middle;" />在上是減函數(shù)，所以.………… 11分
又因?yàn)楹瘮?shù)在上的上界是，所以.
①當(dāng)即時(shí)，；
②當(dāng)即時(shí)，.…………… 14分

略