Question

【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,過AD的平面分別交PB,PC于M,N兩點.

(1)求證:MN∥BC;

(2)若M,N分別為PB,PC的中點,

①求證:PB⊥DN;

②求二面角P-DN-A的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析，

【解析】

（1）先證明BC∥平面ADNM，再證明MN∥BC.（2）①先證明PB⊥平面ADNM，再證明PB⊥DN. ②以A為坐標原點,直線AB為x軸,直線AD為y軸,直線AP為z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,利用向量法求二面角P-DN-A的余弦值.

(1)證明因為底面ABCD為直角梯形,所以BC∥AD.

因為BC平面ADNM,AD平面ADNM,

所以BC∥平面ADNM.

因為BC平面PBC,平面PBC∩平面ADNM=MN,所以MN∥BC.

(2)①證明因為M,N分別為PB,PC的中點,PA=AB,所以PB⊥MA.

因為∠BAD=90°,所以DA⊥AB.

因為PA⊥底面ABCD,所以DA⊥PA.

因為PA∩AB=A,所以DA⊥平面PAB.

所以PB⊥DA.

因為AM∩DA=A,所以PB⊥平面ADNM.

因為DN平面ADNM,所以PB⊥DN.

②如圖,以A為坐標原點,直線AB為x軸,直線AD為y軸,直線AP為z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,

則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由①知,PB⊥平面ADNM,所以平面ADNM的法向量為=(-2,0,2).

設平面PDN的法向量為n=(x,y,z),

因為=(2,1,-2),=(0,2,-2),

所以

令z=2,則y=2,x=1.

所以n=(1,2,2),

所以cos<n,>=.

所以二面角P-DN-A的余弦值為.