Question

已知向量

a

=（cosx，-

1

2

），

b

=（

3

sinx，cos2x），x∈R，設函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和最值；
（2）求f（x）的單調增區間．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,三角函數中的恒等變換應用

專題：三角函數的圖像與性質,平面向量及應用

分析：（1）利用數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式即可得出f（x），再利用正弦函數的周期性、單調性即可得出；
（2）利用正弦函數的單調性即可得出．

解答： 解：（1）f（x）=

a

•

b

=cosx•

3

sinx-

1

2

cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin(2x-

π

6

)．
最小正周期T=

2π

2

=π．
∴f(x)=sin(2x-

π

6

)，最小正周期為π．
最大值和最小值分別為1，-1．
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ得，2kπ-

2π

6

≤2x≤

5π

6

+2kπ，即-

π

6

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ．
∴函數的單調增區間為[-

π

6

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈Z）．

點評：本題考查了數量積運算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數的周期性與單調性，考查了計算能力，屬于中檔題．