Question

數列滿足，（），是常數．（Ⅰ）當時，求及的值；（Ⅱ）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求的取值范圍，使得存在正整數，當時總有．

Answer 1

(Ⅰ) ，   (Ⅱ) 見解析  （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）由于，且．

所以當時，得，故．從而．

（Ⅱ）數列不可能為等差數列，證明如下：由，

得，，．

若存在，使為等差數列，則，即，

解得．于是，．

這與為等差數列矛盾．所以，對任意，都不可能是等差數列．

（Ⅲ）記，根據題意可知，且，即

且，這時總存在，滿足：當時，；

當時，．所以由及可知，若為偶數，

則，從而當時，；若為奇數，則，

從而當時．因此“存在，當時總有”

的充分必要條件是：為偶數，記，則滿足．

故的取值范圍是