Question

（本小題滿分13分）如圖6，正方形所在平面與圓所在平面相交于，
線段為圓的弦，垂直于圓所在平面，
垂足是圓上異于、的點，
，圓的直徑為9．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

(1)略
(2)

（1）證明：∵垂直于圓所在平面，在圓所在平面上，∴．

在正方形中，，
∵，∴平面．∵平面，
∴平面平面． …………4分
（2）解法1：∵平面，平面，
∴．

過點作于點，作交于點，連結，
由于平面，平面，
∴．∵，∴平面．
∵平面，∴．
∵，，∴平面．
∵平面，∴．
∴是二面角的平面角．
在△中，，，，
∵，∴．
在△中，，
∴．故二面角的平面角的正切值為． …………13分
解法2：∵平面，平面，
∴．∴為圓的直徑，即． 設正方形的邊長為，
在△中，，
在△中，，
由，解得，．∴．
設平面的法向量為，
則即
取，則是平面的一個法向量．
∵，
∴．∴．故二面角的平面角的正切值為．