Question

水車問題.

水車是一種利用水流的動力進行灌溉的工具，圖1-6-5是一個水車的示意圖，它的直徑為3 m，其中心(即圓心)O距水面1.2 m.如果水車每4 min逆時針轉3圈，在水車輪邊緣上取一點P，我們知道在水車勻速轉動時，P點距水面的高度h(m)是一個變量，顯然，它是時間t(s)的函數.我們知道，h與t的函數關系反映了這個周期現象的規律.為了方便，不妨從P點位于水車與水面交點Q時開始記時(t=0).

首先，設法用解析式表示出這個函數關系，并用“五點法”作出這個函數在一個周期內的簡圖.

圖1-6-5

其次，我們討論如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少時，所求得的函數解析式中的參數將發生哪些變化？若水車轉速加快或減慢，函數解析式中的參數又會受到怎樣的影響？

Answer 1

解：不妨設水面的高度為0，當P點旋轉到水面以下時，P點距水面的高度為負值.

如圖，設水車的半徑為R，R=1.5 m,水車中心到水面的距離為b，b=1.2 m；∠QOP為α；

水車旋轉一圈所需的時間為T；單位時間(s)旋轉的角度(rad)為.

過P點向水面作垂線，交水面于M點，PM的長度為P點的高度h.

過水車中心O作PM的垂線，交PM于N點，∠QON為φ.

從圖中不難看出：h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.                       ①

用ω表示單位時間(s)內水車轉動的角度(rad)，這樣，在t時刻水車轉動的角度為：α=ωt.

因為單位時間內水車轉動的角度是ω，所以轉一圈所用的時間T=.

又由于水車輪每4 min轉3圈，水車旋轉一圈所需時間為T=80 s，可求出ω= rad/s.

從圖中可以看出：sinφ=，

所以φ≈53.1°≈0.295π rad.

把這些參數代入①，我們就可以得到h=1.5 sin(t-0.295π)+1.2(m)，    ②

這就是P點距水面的高度h關于時間t的函數關系式.

因為當P點旋轉到53.1°時，P點到水面的距離恰好是1.2(m)，此時t=≈11.8(s).

故可列表、描點，畫出函數在區間［11.8，918.］上的簡圖：

t	11.8	31.8	51.8	71.8	91.8
h=1.5sin(t-0.295π)+1.2(m)	1.2	2.7	1.2	-0.3	1.2

如果雨季河水上漲或旱季河流水量減少，將造成水車中心O與水面之間的距離發生改變，而使函數解析式中所加參數b發生變化.水面上漲時，參數b減小；水面回落時，參數b增大.如果水車輪轉速加快，將使周期T減小；轉速減慢，則使周期T增大.