Question

【題目】一矩形的一邊在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，如圖，則此矩形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

用表示圓柱的體積可得，由基本不等式可求其最大值，從而得到正確的選項(xiàng).

因?yàn)?/span>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以.

因?yàn)榫匦卫@軸旋轉(zhuǎn)一周旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓柱，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

則圓柱的底面圓的半徑為，高為，

因?yàn)?/span>，即，

所以，所以，

所以，

所以圓柱得體積為，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以矩形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積的最大值是，

故選：A．

【點(diǎn)晴】

本題主要考查了空間幾何體的體積的計(jì)算、基本不等式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵確定的值，屬于中檔試題，同時(shí)著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法及數(shù)形結(jié)合的思想方法的應(yīng)用，本題的解答中先求出的范圍，再設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等得到，再求出高，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)得到一個(gè)圓柱，根據(jù)圓柱的體積公式得到關(guān)系式，利用基本不等式求最值．