Question

已知函數y=f（x）為R上的偶函數，且對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3）成立且f（0）=-2，當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，則下列命題中正確的有

 

．
①f（2013）=-2；
②y=f（x）圖象關于x=-6對稱；
③y=f（x）在[-9，-6]上為增函數；
④方程f（x）=0在[-9，9]上有4個實根．

Answer 1

分析：依據函數y=f（x）的單調性與周期性對①②③④四個選項逐一判斷即可．

解答：解：對于①：∵y=f（x）為R上的偶函數，且對任意x∈R，均有f（x+6）=f（x）+f（3），
∴令x=-3得：f（6-3）=f（-3）+f（3）=2f（3），
∴f（3）=0，
∴f（x+6）=f（x），
∴函數y=f（x）是以6為周期的函數，
∴f（2013）=f（335×6+3）=f（3）=0，故①錯誤；
對于②：∵函數y=f（x）是以6為周期的偶函數，
∴f（-6+x）=f（x），f（-6-x）=f（x），
∴f（-6+x）=f（-6-x），
∴y=f（x）圖象關于x=-6對稱，即②正確；
對于③：∵當x₁，x₂∈[0，3]且x₁≠x₂時，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
∴y=f（x）在區間[0，3]上為增函數，又函數y=f（x）是偶函數，
∴y=f（x）在區間[-3，0]上為減函數，又函數y=f（x）是以6為周期的函數，
∴y=f（x）在區間[-9，-6]上為減函數，故③錯誤；
對于④：∵y=f（x）在區間[-3，0]上為減函數，在區間[0，3]上為增函數，且f（3）=f（-3）=0，
∴方程f（x）=0在[-3，3]上有2個實根（-3和3），又函數y=f（x）是以6為周期的函數，
∴方程f（x）=0在區間[-9，-3）上有1個實根（為-9），在區間（3，9]上有一個實根（為9），
∴方程f（x）=0在[-9，9]上有4個實根，故④正確．
綜上所述，命題中正確的有②④．
故答案為：②④．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的奇偶性、對稱性、周期性、單調性，考查函數的零點，屬于中檔題．