Question

在平面直角坐標系內有兩個定點F₁，F₂和動點P，F₁，F₂坐標分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），動點P滿足

|   PF1 |

|   PF2 |

=

2

2

，動點P的軌跡為曲線C，曲線C關于直線y=x的對稱曲線為曲線C″，直線y=x+m-3與曲線C″交于A、B兩點，O是坐標原點，△ABO的面積為

7

，
（1）求曲線C的方程；
（2）求m的值．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，利用兩點間的距離公式得到曲線C的方程；
（2）根據關于y=x對稱點的特點，把圓心（-3，0）關于y=x的對稱點找到，半徑不變，即可得到曲線C″的方程，利用兩點間的距離公式求出圓心到直線的距離即為三角形的高，根據勾股定理求出直線與圓相交所截取的弦長為三角形的底，根據三角形的面積公式列出方程求出m即可．

解答：解：（1）設P點坐標為（x，y），則

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=

2

2

，化簡得（x+3）²+y²=8，
所以曲線C的方程為（x+3）²+y²=8；
（2）曲線C是以（-3，0）為圓心，2

2

為半徑的圓，曲線C″也應該是一個半徑為2

2

的圓，點（-3，0）關于直線y=x的對稱點的坐標為（0，-3），所以曲線C″的方程為x²+（y+3）²=8，
原點（0，0）到直線y=x+m-3的距離d=

|m-3|

2

，
S_△ABO=

1

2

×d×|AB|=

1

2

×d×2

8-d2

=

[8- (m-3)2 2 ]× (m-3)2 2

=

7

，
∴

(m-3)2

2

=1或7，所以m=3±

2

或m=3±

14

．

點評：考查學生會根據動點的特點求動點形成的軌跡方程，會根據圓的標準方程得到圓心坐標和半徑，靈活運用兩點間的距離公式解決數學問題，會求曲線關于y=x的對稱曲線．