Question

已知p：關于x的方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，q：關于x的方程x²+mx+1=0的兩實根都小于1，若p∧q是真命題，且￢（p∨q）是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：根據二次方程根與判別式的關系，可求出p為真時m的取值范圍，根據二次方程根與系數的關系，可求出q為真時m的取值范圍，結合p∧q是真命題，且￢（p∨q）是假命題，可得實數m的取值范圍
解答：解：∵¬（p∨q）是假命題，
∴p∨q是真命題．
∵方程4x²+4（m-2）x+1=0無實根，
∴△=16（m-2）²-4×4＜0，
∴1＜m＜3，
∴p為真命題時，實數m的取值范圍為A={m|1＜m＜3}．
構造函數f（x）=x²+mx+1．
∵方程x²+mx+1=0有兩個小于1的實根，
∴，
解得：m≥2；
∴q為真命題時，實數m的取值范圍為B={m|m≥2}，
∴p∧q是真命題時，實數m的取值范圍是：
M=A∩B={m|1＜m＜3}∩{m|m≥2}={m|2≤m＜3}；
p∨q是真命題時，實數m的取值范圍是：
N=A∪B={m|1＜m＜3}∪{m|m≥2}={m|m＞1}，
∴p∨q是真命題，即¬（p∨q）是假命題時，實數m的取值范圍是：
M∩N={m|2≤m＜3}∩{m|m＞1}={m|2≤m＜3}，
綜上所述，實數m的取值范圍是[2，3）．
點評：本題以命題的真假判斷為載體考查了方程根的個數與判別式的關系及根與系數的關系，熟練掌握二次方程的相關知識點是解答的關鍵．