Question

（2013•杭州模擬）設圓C：（x-5）²+（y-3）²=5，過圓心C作直線l與圓交于A，B兩點，與x軸交于P點，若A恰為線段BP的中點，則直線l的方程為（　�。�

A．x-3y+4=0，x+3y-14=0

B．2x-y-7=0，2x+y-13=0

C．x-2y+1=0，x+2y-11=0

D．3x-y-12=0，3x+y-18=0

Answer 1

分析：由題意可設直線l的方程為y-3=k（x-5），P（0，3-5k），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y-3=k(x-5) (x-5)2+(y-3)2=5

，然后由方程的根與系數關系可得，x₁+x₂，x₁x₂，由A為BP的中點可得x₂=2x₁，聯立可求x₁，x₂，進而可求k，即可求解直線方程．

解答：解：∵圓C：（x-5）²+（y-3）²=5，∴C（5，3），
∵過圓心C作直線l與圓交于A，B兩點，
∴設直線l的方程為y-3=k（x-5），
令y=0，得x=5-

3

k

，即P（5-

3

k

，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯立

y-3=k(x-5) (x-5)2+(y-3)2=5

，消去x可得（1+

1

k2

）y²-6（1+

1

k2

）x+

9

k2

+4=0，
由方程的根與系數關系可得，y₁+y₂=6，y₁y₂=

9 k2 +4

1 k2 +1

=

9+4k2

1+k2

，①
∵A為BP的中點
∴

0+y2

2

=y₁，即y₂=2y₁，②
把②代入①可得y₂=4，y₁=2，y₁y₂=

9+4k2

1+k2

=8，
∴k=±

1

2

，
∴直線l的方程為y-3=±

1

2

（x-5），
即x-2y+1=0，或x+2y-11=0．
故選C．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，方程的根與系數關系的應用，體現了方程的數學思想，屬于中檔題．