Question

已知函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x（x∈R）．
（1）求f（x）的最小正周期，并求f（x）的最小值及此時自變量的集合；
（2）令g(x)=f(x+

π

8

)-1，判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據二倍角公式，和輔助角公式，將函數f（x）=2sinxcosx+2cos²x化成正弦型函數，進而根據正弦型函數的性質判斷出f（x）的最小正周期，然后求f（x）的最小值．
（II）根據函數圖象的平移變換法則，求出函數g（x）的解析式，根據余弦型函數的性質，推出函數g（x）的奇偶性，根據奇偶性的定義，即可得到證明．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
其最小正周期是T=

2π

2

=π，
又當2x+

π

4

=-

π

2

+2kπ，
即x=kπ-

3π

8

（k∈Z）時，sin（2x+

π

4

）取得最小值-1，
所以函數f（x）的最小值是1-

2

，此時x的集合為{x|x=kπ-

3π

8

，k∈Z}．     
（Ⅱ）g(x)=f(x+

π

8

)-1=

2

sin（2（x+

π

8

）+

π

4

）=

2

sin（2x+

π

2

）=

2

cos2x
∵g（-x）=

2

cos（-2x）=

2

cos2x=g（x）．
∴函數g（x）是偶函數．

點評：本題考查的知識點是三角函數中恒等變換應用，三角函數的周期性及其求法，三角函數的最值，熟練掌握正弦型函數和余弦型函數的性質是解答本題的關鍵．