Question

（本小題滿分15分）設函數，（其中為實常數且），曲線在點處的切線方程為.

(Ⅰ) 若函數無極值點且存在零點，求的值；

(Ⅱ) 若函數有兩個極值點，證明的極小值小于.

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ），

由題得，

即．

此時，；[來源:]

由無極值點且存在零點，得

解得，于是，．……………………………………………………7分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函數有兩個極值點，只要方程有兩個不等正根，

那么實數應滿足 ，解得，

設兩正根為，且，可知當時有極小值．其中這里由于對稱軸為，所以，且，得

記，，

有對恒成立，

又，故對恒有，即．

所以有

而對于恒成立，

即在上單調遞增，故．……………………………15分

 

【解析】略