Question

已知函數f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實數a的值；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先將函數進行配方得到對稱軸，判定出函數f（x）在[1，a]上的單調性，然后根據定義域和值域均為[1，a]建立方程組，解之即可；
（2）將a與2進行比較，將條件“對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4”轉化成對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有f（x）_max-f（x）_min≤4恒成立即可．

解答：解：（1）∵f（x）=（x-a）²+5-a²（a＞1），
∴f（x）在[1，a]上是減函數，又定義域和值域均為[1，a]，
∴

f(1)=a f(a)=1

，
即

1-2a+5=a a2-2a2+5=1

，解得a=2．
（2）若a≥2，又x=a∈[1，a+1]，且，（a+1）-a≤a-1
∴f（x）_max=f（1）=6-2a，f（x）_min=f（a）=5-a²．
∵對任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，
∴f（x）_max-f（x）_min≤4，即（6-2a）-（5-a²）≤4，解得-1≤a≤3，
又a≥2，∴2≤a≤3．
若1＜a＜2，f_max（x）=f（a+1）=6-a²，f（x）_min=f（a）=5-a²，
f（x）_max-f（x）_min≤4顯然成立，綜上1＜a≤3．

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，同時考查了轉化與劃歸的數學思想，屬于中檔題之列．