Question

【題目】已知f(x)是定義在R上的偶函數，且x≤0時，f(x)＝log (－x＋1)．

(1)求f(0)，f(1)；

(2)求函數f(x)的解析式；

(3)若f(a－1)<－1，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(0)＝0，f(1)＝－1；（2）；（3）(－∞，0)∪(2，＋∞).

【解析】試題分析：（1）代入x的值，求出函數值即可；
（2）根據函數的奇偶性求出函數的解析式即可；
（3）通過討論a的范圍，得到關于a的不等式，解出即可．

試題解析：

(1)因為當x≤0時，f(x)＝log (－x＋1)，

所以f(0)＝0.

又因為函數f(x)是定義在R上的偶函數，

所以f(1)＝f(－1)＝log [－(－1)＋1]＝log2＝－1，

即f(1)＝－1.

(2)令x>0，則－x<0，

從而f(－x)＝log (x＋1)＝f(x)，

∴x>0時，f(x)＝log (x＋1)．

∴函數f(x)的解析式為f(x)＝

(3)設x1，x2是任意兩個值，且x1<x2≤0，

則－x1>－x2≥0，

∴1－x1>1－x2>0.

∵f(x2)－f(x1)＝log (－x2＋1)－log (－x1＋1)＝log>log1＝0，

∴f(x2)>f(x1)，

∴f(x)＝log (－x＋1)在(－∞，0]上為增函數．

又∵f(x)是定義在R上的偶函數，

∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數．

∵f(a－1)<－1＝f(1)，

∴|a－1|>1，解得a>2或a<0.

故實數a的取值范圍為(－∞，0)∪(2，＋∞)．

點睛: 本題考查利用函數的奇偶性求函數解析式,判斷并證明函數的單調性,屬于中檔題目.證明函數單調性的一般步驟：（1）取值：在定義域上任取，并且（或）；（2）作差： ，并將此式變形（要注意變形到能判斷整個式子符號為止）；（3）定號；（4）下結論.