Question

直線y=x+b與曲線2y=

20-x2

有兩個不同的公共點，則實數b∈（　　）

• A．[-2

  5

  ，5)
• B．（-5，5）
• C．[-2

  5

  ，2

  5

  ]
• D．[2

  5

  ，5)

Answer 1

分析：曲線表示以F₁（-

15

，0），F₂（

15

，0）為焦點的上半個橢圓，當直線y=x+b與上半個橢圓有兩個不同的相點時，滿足條件．

解答：解：∵2y=

20-x2

∴

x2

20

+

y2

5

=1（y≥0）即表示以F₁（-

15

，0），F₂（

15

，0）為焦點的上半個橢圓，
結合圖象可知直線應介于圖中兩平行線的位置滿足條件
當直線過左頂點（-2

5

，0）時b=2

5

當直線與橢圓相切時，設切點為（m，

1

2

20-m2

）
切線的斜率為1=f′（m）=

-m

2 20-m2

解得m=-4
∴切點為（-4，1），而切點在直線y=x+b上，則b=5
∴直線y=x+b與曲線2y=

20-x2

有兩個不同的公共點，則實數b∈[2

5

，5）
故選D．

點評：本題考查了直線和橢圓的位置關系，主要考查了直線與橢圓相交的性質以及導數的幾何意義，體現了數形結合及函數與方程的數學思想，屬于中檔題．