Question

已知函數f（x）=，在x=1處取得極值2．
（1）求函數f（x）的解析式
（2）m滿足什么條件時，區間（m，2m+1）為函數f（x）的單調增區間；
（3）若P（x，y）為f（x）=圖象上任意一點，直線/與．f（x）的圖象切于P點，不妨設直線l的斜率為對于任意的x∈R和對于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數 在x=1處取得極值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b確定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增區間得到m的不等式組求出解集即可；
（3）找出直線l的斜率k=f′（x），利用換元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范圍．
解答：解：（1）因 ，
而函數 在x=1處取得極值2，
所以 ⇒⇒
所以 ；
（2）由（1）知 ，如圖，f（x）的單調增區間是[-1，1]
所以，⇒-1＜m≤0
所以當m∈（-1，0]時，函數f（x）在區間（m，2m+1）上單調遞增．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	o	+	0	-
f（x）	↓	極小值 -2	↑	極大值2	↓

（3）由條件知，過f（x）的圖形上一點P的切線l的斜率k為：=
令 ，則t∈（0，1]，此時，
根據二次函數 的圖象性質知：
當 時，k_min=，當t=1時，k_max=4
所以，直線l的斜率k的取值范圍是 ．
∵t∈[4，5]，均有（t²-2t-3）∈[5，12]
∴k≥-≥（cg（t））_max，恒成立．∴c＜0，-≥5c，
∴c．
點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，利用導數研究函數單調性的能力，以及計算能力，解答的關鍵是導數工具的靈活運用．