Question

一個球與正四面體的六條棱都相切，若正四面體的棱長為a，則這個球的體積是

2

24

πa³

．

Answer 1

分析：取底面BCD的中心G，CD的中點E，球心O（在線段AG上），作OH⊥AB，垂足為H，并求出有關線段的長，利用Rt△ABG∽Rt△AOH，即可求出球的半徑．

解答：解：取球心O，則O與任一棱的距離即為球的半徑．
如圖，設CD的中點為E，底面的中心為G，
則AG⊥底面BCD，AE=BE=

3

2

a，
AG=

6

3

a，AO=

6

4

a，BG=

3

3

a，
由Rt△ABG∽Rt△AOH，
∴AB：AO=BG：OH．
∴OH=

AO•BG

AB

=

2

4

a．
∴V=

4

3

πr³=

2

24

πa³．
故答案為

2

24

πa³．．

點評：本題考查球與正四面體的六條棱都相切問題，求出球的半徑是解決問題的關鍵．或先求EH，則球的半徑為

1

2

EH．