Question

（理科）如圖（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，AB=2，現將梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一簡單組合體ABCDEF如圖（2）示，已知M，N，P分別為AF，BD，EF的中點．
（1）求證：MN∥平面BCF；
（2）求證：AP⊥平面DAE；
（3）當AD多長時，平面CDEF與 平面ADE所成的銳二面角為60°？

Answer 1

【答案】分析：（1）連結AC，通過證明MN∥CF，利用直線與平面平行的判定定理證明MN∥平面BCF；
（2）通過證明AP⊥AD，AP⊥AE，利用直線與平面垂直的判定定理求證：AP⊥平面DAE；
（3）過點A作AG⊥DE交DE于G點，連結PG，則DE⊥PG，可得∠AGP為二面角A-DE-F的平面角，利用等面積，即可得到結論．
解答：（1）證明：連結AC，∵四邊形ABCD是矩形，N為BD中點，
∴N為AC中點，
在△ACF中，M為AF中點，故MN∥CF
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，∴MN∥平面BCF；
（2）證明：依題意知DA⊥AB，DA⊥AE且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P為EF中點，∴FP=AB=
結合AB∥EF，知四邊形ABFP是平行四邊形
∴AP∥BF，AP=BF=2，
而AE=2，PE=2，∴AP²+AE²=PE²
∴∠EAP=90°，即AP⊥AE，
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE；
（3）解：過點A作AG⊥DE交DE于G點，連結PG，則DE⊥PG
∴∠AGP為二面角A-DE-F的平面角，
由∠AGP=60°，AP=BF=2得AG==，
又AD•AE=AG•DE得2AD=，
解得AD=，即AD=時，平面CDEF與平面ADE所成的銳二面角為60°．
點評：本題考查直線與平面平行與垂直的判定定理的應用，考查面面角，考查空間想象能力與計算能力，屬于中檔題．