Question

符號(hào)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數(shù){x}=x-[x]，那么下列命題中正確的序號(hào)是______．
（1）函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，1]；　
（2）方程，有無(wú)數(shù)解；
（3）函數(shù){x}是非奇非偶函數(shù)；　　　　　　
（4）函數(shù){x}是增函數(shù)．

Answer 1

解：∵函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，
而{-x}=-x-[-x]≠-{x}，且{-x}=-x-[-x]≠{x}，
∴函數(shù){x}是非奇非偶函數(shù)；∴（3）是正確的，
又∵{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，
∴函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，{x}=x-[x]=x-0=x，∴函數(shù){x}的值域?yàn)閇0，1），∴（1）錯(cuò)誤，
當(dāng)x=時(shí)，{x}=，又∵函數(shù){x}=x-[x]是周期為1的函數(shù)，∴x=+k時(shí)（k∈Z），{x}=，∴（2）是正確的，
∵函數(shù){x}是周期為1的函數(shù)，∴函數(shù){x}不是單調(diào)函數(shù)，∴（4）錯(cuò)誤
故答案為：（2）（3）
分析：要使解析式有意義，得出函數(shù){x}的定義域?yàn)镽，由周期函數(shù)的定義證明此函數(shù)為周期函數(shù)，使求出一個(gè)周期的上的值域，即為整個(gè)函數(shù)的值域，周期函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，根據(jù)奇偶性的定義判定奇偶性即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了自定義一個(gè)函數(shù)，求函數(shù)的性質(zhì)，一般研究函數(shù)從圖象入手，要找出準(zhǔn)確的切入點(diǎn)，x∈R時(shí)，[x]∈Z，x-[x]∈[0，1），屬于中檔題．