Question

某同學探究函數f(x)=x+

4

x

（x＞0）的最小值，并確定相應的x的值．先列表如下：

x	…	1 4	1 2	1	3 2	2	8 3	4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5	25 6	4	25 6	5	8.5	16.25	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：（（1）（2）問的填空只要寫出結果即可）
（1）若x₁x₂=4，則 f（x₁）

=

f（x₂）．（請填寫“＞，=，＜”號）；若函數f(x)=x+

4

x

（x＞0）在區間 （0，2）上遞減，則f（x）在區間

（2，+∞）

  上遞增；
（2）當x=

2

時，f(x)=x+

4

x

（x＞0）的最小值為

4

；
（3）根據函數f（x）的有關性質，你能得到函數f(x)=x+

4

x

（x＜0）的最大值嗎？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據表格和函數單調性的定義，直接寫出；
（2）根據表格中的數據寫出；
（3）先求出f(x)=x+

4

x

的定義域，再驗證f（-x）=-f（x），判斷出函數是奇函數，得到圖象關于原點對稱，再求出當x＜0時的函數的最大值．

解答：解：（1）=，（2，+∞）  （左端點可以閉），
（2）由表格得，x=2時，f(x)=x+

4

x

（x＞0）取最小值是4                       
（3）∵函數 f(x)=x+

4

x

的定義域是{x|x≠0}，且f（-x）=-f（x），
∴f(x)=x+

4

x

是奇函數，
∴函數f(x)=x+

4

x

（x＜0）與函數f(x)=x+

4

x

（x＞0）關于原點對稱，
則函數f(x)=x+

4

x

（x＜0）在x=-2時取得最大值-4．                                 …

點評：本題考查了函數的單調性與奇偶性的綜合應用，以及觀察能力，難度不大．