Question

在平行四邊形OABC中，已知過點C的直線與線段OA，OB分別相交于點M，N．若

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

．
（1）求證：x與y的關系為y=

x

x+1

；
（2）設f(x)=

x

x+1

，定義函數F(x)=

1

f(x)

-1(0＜x≤1)，點列P_i（x_i，F（x_i））（i=1，2，…，n，n≥2）在函數F（x）的圖象上，且數列{x_n}是以首項為1，公比為

1

2

的等比數列，O為原點，令

OP

=

OP1

+

OP2

+…+

OPn

，是否存在點Q（1，m），使得

OP

⊥

OQ

？若存在，請求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）設函數G（x）為R上偶函數，當x∈[0，1]時G（x）=f（x），又函數G（x）圖象關于直線x=1對稱，當方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]（k∈N）上有兩個不同的實數解時，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意，由平行線的性質可得

| OM |

| OA |

=

| OM |

| OB |

=

| ON |

| NB |

，結合題意可得x=

y

1-y

，所以y=

x

1+x

．
（2）由已知條件得F(x)=

x+1

x

-1=

1

x

，Pi(xi，

1

xi

)，又xn=(

1

2

)n-1，

1

xn

=2n-1，

OP

=(1+

1

2

++

1

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

1

2n-1

，2n-1)．由此可以推出存在Q(1，-

1

2n-1

)滿足條件．
（3）由題意知G(x)=

x x+1 (0≤x≤1) 2-x 3-x (1≤x≤2)

．由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k x-2k+1 x∈[2k，2k+1] x-2k-2 x-2k-3 x∈[2k+1，2k+2]

．同由此能夠推出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）根據題意，由平行線的性質可得

| OM |

| OA |

=

| OM |

| OB |

=

| ON |

| NB |

，
又由

OM

=x

OA

，

ON

=y

OB

，
則有x=

y

1-y

，從而y=

x

1+x

．
（2）F(x)=

x+1

x

-1=

1

x

，
∴Pi(xi，

1

xi

)，又xn=(

1

2

)n-1，

1

xn

=2n-1，
∴

OP

=(1+

1

2

++

1

2n-1

，1+2++2n-1)=(2-

1

2n-1

，2n-1)．
設

OP

⊥

OQ

，則

OP

•

OQ

=0．
∴2-

1

2n-1

+m(2n-1)=0，
∵n≥2，∴m=-

1

2n-1

，
故存在Q(1，-

1

2n-1

)滿足條件．
（3）當x∈[0，1]時，G(x)=

x

x+1

，
又由條件得G（2-x）=G（x），
∴G（2+x）=G（-x）=G（x）．
當x∈[1，2]時，0≤2-x≤1，∴G(2-x)=

2-x

2-x+1

=

2-x

3-x

，
∵G（2-x）=G（x），
∴G(x)=

2-x

3-x

，從而G(x)=

x x+1 (0≤x≤1) 2-x 3-x (1≤x≤2)

．
由G（x+2）=G（x）得G(x)=

x-2k x-2k+1 x∈[2k，2k+1] x-2k-2 x-2k-3 x∈[2k+1，2k+2]

．
設y1=G(x)，y2=ax+

1

2

，在同一直角坐標系中作出兩函數的圖象，
當函數y2=ax+

1

2

圖象經過點（2k+2，0）時，a=-

1

4(k+1)

．
由圖象可知，當a∈[-

1

4(k+1)

，0)時，y₁與y₂的圖象在x∈[2k，2k+2]（k∈N）有兩個不同交點，
因此方程G(x)=ax+

1

2

在x∈[2k，2k+2]上有兩個不同的解．

點評：本題考查數列的綜合運用，解題時要深入挖掘題設中的隱藏含條件．