Question

已知向量

b

=(m，sin2x)，

c

=(cos2x，n)，x∈R，f(x)=

b

•

c

，若函數f（x）的圖象經過點（0，1）和(

π

4

，1)．
（I）求m、n的值；
（II）求f（x）的最小正周期，并求f（x）在x∈[0，

π

4

]上的最小值；
（III）當f(

α

2

)=

1

5

，α∈[0，π]時，求sinα的值．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量的數量積運算求出f（x），然后把已知的兩點坐標代入即可求出m和n的值；
（II）把求得的f（x）利用兩角和的正弦函數公式的逆運算及特殊角的三角函數值化簡為一個角的正弦函數，利用T=

2π

λ

求出周期，然后根據x的范圍得到2x+

π

4

的范圍，根據正弦函數的圖象得到sin（2x+

π

4

）的最小值即可得到f（x）的最小值；
（III）由題意知f（

α

2

）=

1

5

，把x=

α

2

代入到f（x）中，得到一個關于sinα和cosα關系式，變形后兩邊平方再利用同角三角函數間的基本關系化為關于sinα的一元二次方程，求出方程的解，根據α的范圍即可得到滿足題意的sinα值．

解答：解：（I）f（x）=mcos2x+nsin2x，
∵f（0）=1，
∴m=1．∵f(

π

4

)=1，∴n=1．

（II）f(x)=cos2x+sin2x=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期為π．
∵x∈[0，

π

4

]，∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴當x=0或x=

π

4

時，f（x）的最小值為1．

（III）∵f(

a

2

)=

1

5

，∴cosα+sinα=

1

5

，∴cosα=

1

5

-sinα．
兩邊平方得25sin²α-5sinα-12=0，
解得sinα=

4

5

或sinα=-

3

5

．
∵α∈[0，π]，∴sinα=

4

5

．

點評：此題是一道多知識點的綜合題，既考查學生會進行平面向量的數量積的運算，以及靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值，又考查了學生會求三角函數的周期，會利用正弦函數的圖象求三角函數的最值．要求學生把所學的知識融匯貫穿、靈活運用．