Question

 已知函數．

（1）若關于的方程只有一個實數解，求實數的取值范圍；

（2）若當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）探究函數在區間上的最大值（直接寫出結果，不需給出演算步驟）．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）當時，在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為0.      

【解析】

試題分析：（1）方程，即，變形得，

顯然，已是該方程的根，從而欲使原方程只有一解，

即要求方程有且僅有一個等于1的解或無解，

結合圖形得.                                                                   ……4分

（2）不等式對恒成立，即（*）對恒成立，

①當時，（*）顯然成立，此時；

②當時，（*）可變形為，令

因為當時，，當時，，

所以，故此時.

綜合①②，得所求實數的取值范圍是.                                         ……8分

（3）因為=            ……10分

①當時，結合圖形可知在上遞減，在上遞增，

且，經比較，此時在上的最大值為.

②當時，結合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且，，

經比較，知此時在上的最大值為.

③當時，結合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且，，

經比較，知此時 在上的最大值為.

④當時，結合圖形可知在，上遞減，

在，上遞增，且, ，

經比較，知此時 在上的最大值為.

當時，結合圖形可知在上遞減，在上遞增，

故此時 在上的最大值為.

綜上所述，當時，在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為；

當時， 在上的最大值為0.                                     ……15分

考點：本小題主要考查由方程根的情況求參數的取值范圍、恒成立問題的求解和含參數的二次函數的最值問題，考查學生數形結合思想和分類討論思想的應用.

點評：恒成立問題一般轉化為最值問題解決；分類討論時，要盡量做到不重不漏.