Question

（2008•徐匯區二模）設F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，若動點P（x，y）滿足|

PF1

|+|

PF2

|=4．
（1）求動點P的軌跡方程；（2）求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由于點P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓，再根據橢圓的標準方程求解動點P的軌跡方程；
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，寫出其定義域，利用函數思想求最大值和最小值即可．

解答：解：（1）由橢圓定義易得動點P的軌跡方程為

x2

4

+y2=1；------（6分）
（2）由

PF1

•

PF2

=x2+y2-3=

1

4

(3x2-8)，
∵x∈[-2，2]-----------（10分）
故當x=0時，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值-2----（12分）
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值1．--------（14分）

點評：本題主要了向量在幾何中的應用、橢圓的定義．點P滿足|PF₁|+|PF₂|=|F₁F₂|，P的軌跡是線段F₁F₂；點P滿足|PF₁|+|PF₂|為常數，且大于線段|F₁F₂|的長，P的軌跡是橢圓；小于線段|F₁F₂|的長，P點無軌跡．