Question

【題目】在四棱錐中，為與的交點，平面，是正三角形，，.

（1）求異面直線和所成角的大小；

（2）若點為棱上一點，且平面，求的值；

（3）求證：平面平面.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）由可得異面直線和所成角為和所成角,進而求解即可；

（2）由平面可得,則,再由求解即可；

（3）取的中點,連接,,由正三角形可得,再利用勾股定理可得,進而求證即可.

（1）因為,所以異面直線和所成角為和所成角,即,

因為是正三角形,,所以,

因為平面,所以平面,

因為平面,所以,所以是等腰直角三角形,

所以,

即異面直線和所成角為

（2）因為平面,平面,平面平面,

所以,

所以,

因為,,

所以,

所以

（3）證明:取的中點,連接,,

因為是正三角形,,所以,

因為是中點,所以,

因為平面,所以,,,

因為,所以,,

設,在等腰直角三角形中,,

在中,,

在直角梯形中,,

因為,點為的中點,

所以,

在中,,

在中,由,,,可知,

所以,

由,,,,平面,

所以平面,

又平面,

所以平面平面