Question

（本題滿分14分）如圖，在平行六面體ABCD-A₁BC₁D₁中，
已知:,且,O是B₁D₁的中點.
(1)求的長;
(2)求異面直線與所成角的余弦值.

Answer 1

（1）；（2）.

第一問利用已知的空間向量基本定理，表示體對角線的向量，然后利用數量積的性質，模的平方等于向量的平方，得到的長度
第二問中，分別表示異面直線與所在的向量的坐標，通過求解向量的數量積來表示夾角，從而得到結論。
(1)解：設 AB =" a" ， AD =" b" ， AA1 =" c" ，則兩兩夾角為60°，且模均為1．
（1） AC1 =" AC" + CC1 =" AB" + AD + AA1 =" a" + b + c ．
∴| AC1 |2=（ a + b + c ）²="|" a |²+| b |²+| c |²+2 a • b +2 b • c +2 a • c=3+6×1×1×1 2 =6，
∴| AC₁ |=  ，即AC₁的長為  ．  ………………6分   
(2) ………………14分