Question

已知1≤x≤10且xy²=100，求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，并求取得最大值和最小值時相應的x，y的值．

Answer 1

分析：由題意，要求（lgx）²+（lgy）²的最大值和最小值，可先處理條件xy²=100，兩邊取常用對數，得到lgx+2lgy=2，由于得到lgy=1-

1

2

lgx，將其代入到f（x）=（lgx）²+（lgy）²中即可得到（lgx）²+（lgy）²關于lgx的一元二次函數，令lgx=t，換元后由二次函數的性質求最值，及相應的x，y的值

解答：解：xy²=100 兩邊取對數得到：lg（xy²）=lg100=2 lgx+2lgy=2 所以：lgy=1-

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2

lgx．f（x）=（lgx）²+（lgy）²=（lgx）²+[1-

1

2

lgx]²=

5

4

（lgx）²-lgx+1 設lgx=t，則有0≤t≤1，f（x）=

5

4

t²-t+1 對稱軸t=

2

5

，在區間[0，1]范圍內，所以：f（x）在t=

2

5

處取得最小值，此時x=10

2

5

，y=10

4

5

； f（x）在t=1處取得最大值，此時x=10，y=10

1

2

．

點評：本題考點是對數函數圖象與性質的綜合運用，考查了對數的運算性質，換元法，二次函數的性質，解題的關鍵是由題設條件結合換元的技巧構造出二次函數，利用二次函數的性質求出最值，本題的難點是構造函數，利用函數求最值，本題易因為換元后忘記求新元的取值范圍而出錯．