Question

數列{a_n}滿足a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設ln（1+x）＜x在x＞0時成立，數列{a_n}的前n項和為S_n，證明Sn＜n-ln(

n+2

2

)．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件，推出{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數列．求出通項公式，然后求解即可．
（2）利用ln（1+x）＜x在x＞0時成立，推出數列a_n＜1-ln（n+2）+ln（n+1），的關系式，通過數列消項求和，推出結果．

解答：解：（1）∵a1=

1

2

，an+1=

1

2-an

，
∴an+1-1=

1

2-an

-1=

an-1

2-an

，
∴

1

an+1-1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
∴{

1

an-1

}是首項為-2，公差為-1的等差數列．
∴

1

an-1

=-n-1，所以an=

n

n+1

．
數列{a_n}的通項公式為an=

n

n+1

．
（2）∵ln（1+x）＜x在x＞0時成立，
從而ln（1+

1

n+1

）＜

1

n+1

，1-

1

n+1

＜1-ln（1+

1

n+1

），
∴an=1-

1

n+1

＜1-ln（n+2）+ln（n+1），
S_n＜（1-ln3+ln2）+（1-ln4+ln3）+…+[1-ln（n+2）+ln（n+1）]=n+ln（n+2）-ln2=n-ln（

n+2

2

）
∴Sn＜n-ln(

n+2

2

)

點評：本題考查數列通項公式的求法，數列前n項和的求法，數列與不等式的綜合應用，考查轉化思想、計算能力．