Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，斜邊AB=

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a，側棱AA₁=2a，點D是AA₁的中點，那么截面DBC與底面ABC所成二面角的大小是（　�。�

A．30°

B．45°

C．60°

D．以上答案都不對

Answer 1

分析：根據直三棱柱的結構特征，得知側面A₁C₁CA⊥底面ABC．由于底面ABC是等腰直角三角形，所以BC⊥AC，所以BC⊥側面A₁C₁CA，BC⊥DC，所以∠DCA為截面DBC與底面ABC所成二面角的平面角．在RT△DAC中求解即可．

解答：解：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以側棱和底面垂直，從而側面和底面垂直，所以側面A₁C₁CA⊥底面ABC．
側面A₁C₁CA∩底面ABC=AC．由于底面ABC是等腰直角三角形，所以BC⊥AC，根據平面和平面垂直的性質定理得
BC⊥側面A₁C₁CA，BC⊥DC，所以∠DCA為截面DBC與底面ABC所成二面角的平面角．
在RT△DAC中，DA=a，AC=a，所以∠DCA=45°．
故選：B．

點評：本題考查二面角求解，關鍵是找出或作出二面角的平面角，將空間問題轉化為平面問題．