Question

已知橢圓的左、右頂點分別為A，B，圓x²+y²=4上有一動點P，P在x軸的上方，C（1，0），直線PA交橢圓E于點D，連結DC，PB．
（1）若∠ADC=90°，求△ADC的面積S；
（2）設直線PB，DC的斜率存在且分別為k₁，k₂，若k₁=λk₂，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設D（x，y），∵∠ADC=90°，∴AD²+DC²=AC²，
∴（x+2）²+y²+（x-1）²+y²=9，化為x²+y²+x-2=0 ①．
∵點D在橢圓E上，∴ ②．
聯立①②得，消去y得3x²+4x-4=0，
又-2＜x＜2，解得．
代入橢圓方程解得．
∴S_△ADC==．
（2）設P（x₀，y₀），則直線PA的方程為，
代入橢圓的方程得到，
∵，∴，
化為．
此方程有一個實數根-2，設D（x₁，y₁），則，
代入直線PA的方程得，
∴，=．
∵k₁=λk₂，∴==，
∵-2＜x₀＜2，，
∴λ的取值范圍為（-∞，0）∪（0，3）．
分析：（1）設D（x，y），利用勾股定理和兩點間的距離公式即可關于x，y的方程，與橢圓的方程聯立即可解得點D的坐標，利用S_△ADC=即可得出；
（2）設P（x₀，y₀），得到直線PA的方程，與橢圓的方程聯立及利用點P在圓上即可表示出直線PB、DC的斜率，利用k₁=λk₂，及反比例函數的單調性即可得出．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義、方程及其性質、勾股定理、兩點間的距離公式、斜率公式、直線與圓錐曲線的相交問題轉化為方程組、一元二次方程的根與系數的關系、反比例函數的單調性是解題的關鍵．