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【題目】已知橢圓：的短軸長為2，以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）斜率為的直線交橢圓于，兩點，且，若直線上存在點，使得是以為頂角的等腰直角三角形，求直線的方程.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）先由短軸長求出的值，再根據點到直線的距離公式求出的值即可；（2）設直線的方程為，先由得，則，，再根據直線上存在點，使得是以為頂角的等腰直角三角形，得出，最后由方程組即可求出的值進而求出直線的方程.

（1）由題意得，，則，所以橢圓的方程為.

（2）設直線的方程為，，

由得.

令，得，則，.

因為是以為頂角的等腰直角三角形，

所以平行于軸，過作的垂線，則垂足為線段的中點.

設點的坐標為，則.

由方程組解得，即.

而，所以直線的方程為.

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組別
頻數	5	30	40	50	45	20	10

（1）若此次問卷調查得分整體服從正態分布，用樣本來估計總體，設，分別為這200人得分的平均值和標準差（同一組數據用該區間中點值作為代表），求，的值（，的值四舍五入取整數），并計算；

（2）在（1）的條件下，為感謝大家參與這次活動，市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案：得分低于的可以獲得1次抽獎機會，得分不低于的可獲得2次抽獎機會，在一次抽獎中，抽中價值為15元的紀念品A的概率為，抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者，記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值，求Y的分布列和數學期望，并估算此次紀念品所需要的總金額.