Question

已知，直線(xiàn)與函數(shù)的圖像都相切，且與函數(shù)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．  

（1）求直線(xiàn)的方程及的值；

（2）若（其中是的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)時(shí)，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1），m=-2

（2）取得最大值

（3）由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，即，結(jié)合單調(diào)性來(lái)證明。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）依題意知：直線(xiàn)是函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，故其斜率

，所以直線(xiàn)的方程為．又因?yàn)橹本�(xiàn)與的圖像相切，所以由

，

得（不合題意，舍去）； .  4分

（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013082312521759582454/SYS201308231252597045972278_DA.files/image015.png">（），所以

．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

因此，當(dāng)時(shí)，取得最大值； .  8分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，．由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，，即．因此，有． .  12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題。