Question

已知函數f（x）=-2sinxcosx+2cos²x+1
（1）設方程f（x）-1=0在（0，π）內有兩個零點x₁，x₂，求x₁+x₂的值；
（2）若把函數y=f（x）的圖象向左移動m（m＞0）個單位，再向下平移2個單位，使所得函數的圖象關于y軸對稱，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把給出的函數解析式降冪后化積，由f（x）-1=0求出在（0，π）內的兩個根，則x₁+x₂的值可求；
（2）利用函數圖象的平移變換得到平移后圖象所對應的函數解析式，由平移后的函數圖象關于y軸對稱，說明平移后的圖象對應的函數為偶函數，由此得到m的值，由m＞0求出m的最小值．
解答：解：（1）由題設f（x）=-sin2x+1+cos2x+1=．
∵f（x）-1=0，∴，
∴，
則或，
得或，k∈Z，
∵x∈（0，π），∴，
∴；
（2）由函數y=f（x）的圖象向左移動m（m＞0）個單位，再向下平移2個單位，所得圖象對應的函數解析式為，
g（x）==．
要使y=g（x）的圖象關于y軸對稱，則函數g（x）為偶函數，
需使，k∈Z，
∴，k∈Z，
∵m＞0，
∴當k=1時，m取最小值為．
點評：本題考查了二倍角的正弦公式和余弦公式，考查了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的平移原則為左加右減上加下減，是中檔題．