Question

設是拋物線上相異兩點，到y軸的距離的積為且．

（1）求該拋物線的標準方程.

（2）過Q的直線與拋物線的另一交點為R，與軸交點為T，且Q為線段RT的中點，試求弦PR長度的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）.（2）直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值.

【解析】

試題分析：（1）確定拋物線的標準方程，關鍵是確定的值.利用，可得，

再根據P、Q在拋物線上，得到，集合已知條件^，得4p²＝4，p=1．

（2）設直線PQ過點，且方程為，應用聯立方程組

消去x得y² 2my 2a＝0，利用韋達定理，建立的方程組，確定得到，利用“弦長公式”求解.

試題解析： （1）∵　·＝0，則x₁x₂＋y₁y₂＝0，             1分

又P、Q在拋物線上，故y₁²＝2px₁，y₂²＝2px₂，故得

 ＋y₁y₂＝0， y₁y₂＝ 4p²

             3分

又|x₁x₂|＝4，故得4p²＝4，p=1．

所以拋物線的方程為:       5分

（2）設直線PQ過點E(a,0）且方程為x＝my＋a

聯立方程組

消去x得y² 2my 2a＝0

∴　      ①　                7分

設直線PR與x軸交于點M(b,0)，則可設直線PR方程為x＝ny＋b,并設R(x₃,y₃)，

同理可知   ②　　             9分

由①、②可得 

由題意，Q為線段RT的中點，∴　y₃＝2y₂，∴b=2a

又由（Ⅰ）知， y₁y₂＝ 4，代入①，可得

 2a＝ 4 　　∴　　a＝2．故b＝4．           11分

∴

∴.

當n=0，即直線PQ垂直于x軸時|PR|取最小值          14分

考點：拋物線標準方程，直線與拋物線的位置關系.