Question

已知c＞0，設(shè)p：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減； Q：x+|x-2c|＞1不等式的解集為R．如果p和Q有且僅有一個(gè)正確，求c的取值范圍

(0，

1

2

]∪[1，+∞)

．

Answer 1

分析：函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減，可結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性推出c的范圍，由不等式x+|x-2c|＞1的解集為R，可得x+|x-2c|的最小值大于1，而P和Q有且僅有一個(gè)正確，分兩種情況討論，然后求出c的取值范圍．

解答：解：∵函數(shù)y=c^x在R上單調(diào)遞減
∴0＜c＜1
即P：0＜c＜1
∵x+|x-2c|＞1不等式的解集為R．∴函數(shù)y=x+|x-2c|在R上恒大于1．
而x+|x-2c|=

2x-2c，x≥2c 2c，x＜2c

可知x+|x-2c|的最小值為2c，則根據(jù)題意可得，2c＞1
即Q：c＞

1

2

∵p和Q有且僅有一個(gè)正確
①若P正確，Q錯(cuò)誤，則

0＜c＜1 0＜c≤ 1 2

，則0＜c≤

1

2

②若P錯(cuò)誤，Q正確，則

c≥1 c＞ 1 2

，則c≥1
綜上可得，0＜c≤

1

2

或c≥1
故答案為：（0，

1

2

]∪[1，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值不等式的解法及函數(shù)的恒成立問題的求解，要注意與函數(shù)最值的相互轉(zhuǎn)化，指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，是中檔題．