Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)．
（1）若

m

•

n

=1，求cos(x+

π

3

)的值；
（2）記函數f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及

m

•

n

=1，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，可得出sin（

x

2

+

π

6

）的值，然后將所求式子利用二倍角的余弦函數公式化簡后，將得出的sin（

x

2

+

π

6

）的值代入即可求出值；
（2）利用正弦定理化簡已知的等式，移項整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形后，根據sinA不為0，可得出cosB的值，由B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，確定出A的范圍，得出

A

2

+

π

6

的范圍，根據正弦函數的圖象與性質得出sin（

A

2

+

π

6

）的范圍，即可得出f（A）的范圍．

解答：解：（1）∵

m

（

3

sin

x

4

，1），

n

（cos

x

4

，cos²

x

4

），

m

•

n

=1，
∴

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=1，…（2分）
即

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，…（4分）
則cos（x+

π

3

）=1-2sin2（

x

2

+

π

6

）=1-2•（

1

2

）²=

1

2

；…（7分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcocC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，即B=

π

3

，…（11分）
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，…（12分）
又∵f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴1＜f（A）＜

3

2

，
則函數f（A）的取值范圍是（1，

3

2

）．…（14分）

點評：此題考查了正弦定理，正弦函數的定義域與值域，平面向量的數量積運算法則，二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．