Question

已知△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若A、B、C成等差數(shù)列，b=1，記角A=x，a+c=f （x）．
（Ⅰ）當(dāng)x∈[

π

6

，

π

3

]時(shí)，求f （x）的取值范圍；
（Ⅱ）若f(x-

π

6

)=

6

5

，求sin2x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列和三角形內(nèi)角和，求得B，進(jìn)而利用正弦定理求得b，進(jìn)而把a(bǔ)和c的表達(dá)式代入函數(shù)，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而根據(jù)x的范圍利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的最大和最小值．
（Ⅱ）把x-

π

6

代入函數(shù)解析式，求得sinx的值，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得cosx的值，代入正弦函數(shù)的二倍角公式中即可求得答案．

解答：解：（I）由已知A、B、C成等差數(shù)列，得2B=A+C，
∵在△ABC中，A+B+C=π，于是解得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
∵在△ABC中，

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，b=1，
∴a+c=

1

sin π 3

•sinA+

1

sin π 3

sinC=

2 3

3

[sinA+sin(

2π

3

-A)]
=

2 3

3

[sinA+sin

2π

3

cosA-cos

2π

3

sinA]=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)，
即f(x)=2sin(x+

π

6

)．
由

π

6

≤x≤

π

3

得

π

3

≤x+

π

6

≤

π

2

，于是

3

≤f（x）≤2，
即f（x）的取值范圍為[

3

，2]．

（Ⅱ）∵f(x-

π

6

)=2sin(x-

π

6

+

π

6

)=

6

5

，即sinx=

3

5

．
∴cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

．
若cosx=-

4

5

，此時(shí)由-

4

5

＜-

2

2

知x＞

3π

4

，這與A+C=

2π

3

矛盾．
∴x為銳角，故cosx=

4

5

．
∴sin2x=2sinxcosx=

24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的定義域和值域．兩角和公式的化簡(jiǎn)求值等．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．屬基礎(chǔ)題．