Question

已知函數f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期； 
（Ⅱ）當x∈[-

π

8

，

π

8

]時，求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）利用二倍角的正弦、余弦公式、兩角和與差的正弦公式化簡函數解析式，化為一個角的正弦函數，由最小正周期公式求解；
（Ⅱ）由x的范圍求出4x+

π

4

的范圍，再由正弦函數得性質求出f（x）的最值，再求出函數f（x）的值域．

解答： 解：（I）f（x）=（sin2x+cos2x）²-2sin²2x=1+2sin2xcos2x-（1-cos4x）
=sin4x+cos4x=

2

sin(4x+

π

4

)，
∴T=

2π

4

=

π

2

，
則f（x）的最小正周期是

π

2

，
（II）由（I）得f（x）=

2

sin(4x+

π

4

)，
∵x∈[-

π

8

，

π

8

]，∴4x+

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
當4x+

π

4

=-

π

4

時，此時x=-

π

8

，f(x)min=

2

×(-

2

2

)=-1，
當4x+

π

4

=

π

2

時，此時x=

π

16

，f(x)m，ax=

2

，
則f（x）的值域是[-1，

2

]．

點評：本題考查二倍角的正弦、余弦公式、兩角和與差的正弦公式，以及正弦函數的性質，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．