Question

某市為了對學生的數理（數學與物理）學習能力進行分析，從10000名學生中隨機抽出100位學生的數理綜合學習能力等級分數（6分制）作為樣本，分數頻數分布如下表：

等級得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人數	3	17	30	30	17	3

（Ⅰ）如果以能力等級分數大于4分作為良好的標準，從樣本中任意抽取2名學生，求恰有1名學生為良好的概率；
（Ⅱ）統計方法中，同一組數據常用該組區間的中點值（例如區間（1，2]的中點值為1.5）作為代表：
（ⅰ）據此，計算這100名學生數理學習能力等級分數的期望μ及標準差σ（精確到0.1）；
（ⅱ） 若總體服從正態分布，以樣本估計總體，估計該市這10000名學生中數理學習能力等級在（1.9，4.1）范圍內的人數．
（Ⅲ）從這10000名學生中任意抽取5名同學，他們數學與物理單科學習能力等級分數如下表：

（ⅰ）請畫出右上表數據的散點圖；
（ⅱ）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程（附參考數據：）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）樣本中，學生為良好的人數為20人，本題即為從100人中抽2人，恰有一人成績良好的概率，屬古典概型，事件空間共有C₁₀₀²個基本事件，研究事件在其中占了C₂₀¹•C₂₀¹個
故概率為
（Ⅱ）（i） 即估計這100個數據的平均數和標準差，先計算等級得分的概率分布列，即加一行頻率，再利用期望公式和標準差公式計算即可
（ii）由（i）可知，學生學習能力得分x～N（3，（1.1）²），能力等級在（1.9，4.1）范圍內，即X∈（3-1.1，3+1.1），由正態分布的性質，P（μ-σ＜x＜μ+σ）=0.6826，所以數理學習能力等級在（1.9，4.1）范圍內的人數為10000×0.6826=6826
（Ⅲ）（i）先建立平面直角坐標系，再將表中數據作為點的坐標描出即可
（ii）求回歸直線方程的方法有兩種，一種是使用公式，先設出直線方程，再利用公式求出系數a，b，即可，另一種方法就是最小二乘法，通過求函數的最小值得回歸直線的系數a，b，一般情況下我們常使用第一種方法，但要知道公式才行
解答：解：（Ⅰ）樣本中，學生為良好的人數為20人．故從樣本中任意抽取 2名學生，則僅有1名學生為良好的概率為 =
（Ⅱ）學生的數理綜合學習能力等級分數頻率分布如下表：

等級得分	（0，1]	（1，2]	（2，3]	（3，4]	（4，5]	（5，6]
人數	3	17	30	30	17	3
頻率	0.03	0.17	0.30	0.3	0.17	0.3

（ⅰ）總體數據的期望約為：μ=0.5×0.03+1.5×0.17+2.5×0.30+3.5×0.30+4.5×0.17+5.5×0.03=3.0
標準差σ= =≈1.1
（ⅱ）由于μ=3，σ≈1.1∴x～N（3，（1.1）²），
∴當x∈（1.9，4.1）時，即x∈（μ-σ，μ+σ ）
故數學學習能力等級分數在（1.9，4.1）范圍中的概率0.6826．
∴數學學習能力等級在（1.9，4.1）范圍中的學生的人數約為10000×0.6826=6826人．
（Ⅲ）
（ⅰ）數據的散點圖如下圖：

（ⅱ）設線性回歸方程為，則
方法一：==1.1 =4-1.1×4=-0.4
故回歸直線方程為y=1.1x-0.4
方法二：f（a，b）=（2b+a-1.5）²+（3b+a-3）²+（4b+a-3.5）²+（5b+a-5）²+（6b+a-6）²=5a²+40a（b-1）+（2b-1.5）²+（3b-3）²+（4a-3.5）²+（5b-5）²+（6b-6）²
∴時，
f（a，b）取得最小值10b²-22b+12.5 即，∴b=1.1，a=-0.4 時f（a，b）取得最小值；
所以線性回歸方程為y=1.1x-0.4．
點評：本題考察了概率與統計的知識，綜合考察了識圖能力，用樣本估計總體的數字特征，用樣本估計總體的分布，用樣本研究變量間的不確定關系的方法運用